کسب درآمد آنلاین فارکس

مثلث فراكتالي

انجمن ریاضی دانشگاه آزاد اسلامی همدان

ساده ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خط داریم که طول آن ها یک سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر کدام از این پاره خط ها انجام می دهیم. یعنی طول هر کدام را ثلث می کنیم و قسمت وسطی را حذف می کنیم. می توان با کامپیوتر برنامه ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد. اگر این عملیات را بی شمار بار انجام دهیم ( کاری که از عهده کامپیوتر خارج است ) شکلی به دست می آید که مجموعه کانتور نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می بینیم که تا بی نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم، ساختاری میبینیم که باز هم تا بی نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملا شبیه شکل کلی است. چنین ساختار هایی که هر جز آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس (scale (تفاوت دارند را ساختار های خود متشابه [1] می گویند.

یکی از مشهورترین انواع فراکتال ها توسط هلگ فون کخ در سال 1904 طراحی شد. در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره خط به طول یک واحد در نظر می گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع را قرار می دهیم و این کار را همین طور ادامه می دهیم. فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می آید که دانه برف کخ نام دارد.

فراکتال سر پینسکی نیز یک فراکتال هندسی است. اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث های باقی مانده هم این عمل را تا بی نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث های پر و خالی به وجود می آید که فراکتال سر پینسکی به دست خواهد آمد.

به طور کلی می توان گفت که اشکال فراکتالی دارای سه خاصیت عمومی هستند:

1) تشابه به خود [2] : که پیشتر راجع به آن صحبت کردیم.

2) تشکیل از راه تکرار [3] : به این وسیله می توان از یک شکل ساده ی هندسی شکل پیچیده تری ساخت و به همین ترتیب تا بی نهایت این کار را انجام داد.

3) ابعاد کسری [4] : فراکتال ها بر خلاف اشکال عمومی هندسی که می توانند مثلث فراكتالي بدون بعد (نقطه) یک بعدی (خط) دو بعدی (صفحه) و سه بعدی (شکل های حجیم) باشند ، می توانند دارای بعد کسری باشند. (مثلاً بعد )

به طور مثال اگر یک پاره خط را نصف کنیم دو خط داریم که درست مثل هم هستند. هم چنین اگر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چهار مربع هم اندازه داریم و به همین ترتیب با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب ، هشت مکعب کوچکتر خواهیم داشت.

در همه انواع فراکتال های خود متشابه برای تبدیل هر جز به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگری از فراکتال ها وجود دارد که به آن ها مثلث فراكتالي خود الحاقی [5] می گویند. در این نوع فراکتال ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ نمایی شوند. DNA زنجیر طویلی از اسید های نوکلوئیک است که اطلاعات ژنتیکی را در خود ذخیره کرده است. اسید های نوکلوئیک دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یک زنجیره DNA برای هر پریدین یک واحد بالا برویم و برای هر پریمیدین یک واحد به پایین، نموداری به دست می آید که داده های زیادی به ما می دهد. به این نمودار ولگشت DNA [6] می گویند. ولگشت های DNA نمونه های خوبی برای فراکتال های خود الحاقی هستند. اکثر ساختار های فراکتالی در طبیعت مثل ریشه های گیاهان یا شاخه های درخت ها، ساختار های خوشه ها و کهکشان های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی های روی کاغذ، شکستگی های DVD ها و ساختار های زمین شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غار ها مشاهده می شود، خواص فراکتالی خود الحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه های فراکتالی ، گل کلم است.

مثلث فراكتالي

عنوان مقاله: مثلث مثلث فراكتالي انسان، محیط و علم درپیچیدگی معماری فراکتال
شناسه (COI) مقاله: ARCHITECTURE02_307
منتشر شده در دومین همایش ملی معماری، عمران و محیط زیست شهری در سال 1393

اعظم هدایت - دانشجوی دکتری معماری دانشگاه آزاد اسلامی واحد بوشهر
باقر کریمی - استادیار دانشگاه آزاد اسلامی واحد بوشهر

نظریات پست مدرنیسم که ازحدود دهه 1960 میلادی با نگاه انتقادی شدید ازنظرات تقلیل گرایی ملالت تولید انبوه یک شکل تمرکز قدرت تخریب محیط زیست مدرنیسم وارد عرصه معماری شدبه چیزی مهمتر ازیک جنبش فراگیر تغییرشکل داده و پارادایم های جدید متنوعی ازدوران آن زایش یافته است چالزجنکز معماری امروز را دراواخر مرحله اول پست مدرنیسم و درحال ورود به مرحله دوم پست مدرنیسم می داند و جهان و شهرها را به عنوان یک سیستم خودسازماندهی پیچیده بیان میکند و معتقد است مدرنیسم مبین یک سیستم جبری بود که تفاوت واضح بین خلقت ازیک طرف و اتوماتیک ازطرف دیگر را نشان میدهد Jencks 2112 نظریه پردازان پسامدرن بیان می کنند که اندیشه قرن بیستم درک مثلث فراكتالي بحران درمدرنیته بود تکثرگرایی و پیچیدگی که جین جکوبز و رابرت ونتوری ازآن صحبت میکردند امروز ازلایه های هزارچین فولدینگ گذشته و تحت تاثیر آنچه درعلوم جدید پیچیدگی نامیده میشود بصورت مفاهیم جدید فراکتال دینامیک غیرخطی نظریات اشفتگی و اغتشاش و نظامات خودسازماندهی کننده مطرح شده است این گرایش به لحاظ مفهومی و بصری به گونه ای خاص و باکمک ابزارهای پسامدرن مثل کامپیوترو ابزارهای دیجیتالی تصورات ذهنی طراح را به فضاهای واقعی تبدیل می کند دیدگاه پیدایش کیهانی ایده ای است که مطابق آن عالم یک واقعه متحول و خودسازنده است که بیشتر به موجود زنده شباهت دارد تابه یک ماشین یک کل است که متحول شده اوج می گیرد و ناگهان به سطوح بالاتری ازسازماندهی جهش می یابد و باعث شگفتی و هیجان میشود

برای چاپ کامل صفحه، در گزینه های چاپ Background Graphics را فعال نمایید.

دفتر مرکزی انتشارات بوم سازه (سیویلیکا): تهران، بزرگراه جلال آل احمد، بین خیابان کارگر و بزرگراه چمران، کوچه پروانه، پلاک ۴، ساختمان چمران، طبقه ۴، واحد ۳۱
تلفن: ۸۸۰۰۸۰۴۴ ، ۸۸۳۳۵۴۵۰ ، ۸۸۳۳۵۴۵۱ ، ۸۸۳۳۵۴۵۲ - کد پستی: ۱۴۳۹۹۱۴۱۵۳

مثلث فراكتالي

گربه‌ها ، قناری‌ها و کانگوروها به نحوی به هم شبیه هستند. اما در هندسه، تشابه معنای خاصی دارد که حتماً آن را در کتاب ریاضی خود دیده اید و می‌دانید که تشابه، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانید با بزرگ یا کوچک کردن دو شکل، آن ها را دقیقاً همانند هم کنید، آن دو شکل متشابه اند. اما شکل های خود متشابه کدام‌ها هستند؟ اشکال زیادی وجود دارند که فراکتالی نیستند اما خود متشابه اند.

به این شکل دقت کنید!

شکل کلی یک ذوزنقه است و خود از ذوزنقه های کوچک تر کنار هم پدید آمده است. این مورد یک مثال از تشابه به خود است.

حال به این مثلث خاص نگاه کنید.

این مثلث بزرگ که مثلث مثلث فراكتالي سیرپینسکی نام دارد، از مثلث های مشابه کوچک تر تشکیل شده است که همین طور کوچک تر و کوچک تر هم می‌شوند.

چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟

اگر شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟

آیا مربع‌ها خود متشابه اند؟ یعنی می‌توان با مربع های کوچک تر، مربع بزرگی ساخت. شش ضلعی‌ها چه طور؟

آیا همه ی دایره‌ها متشابه اند؟ آیا خود متشابه هم هستند؟

تشکیل از راه تکرار Iterative formation

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط ) را انتخاب کنیم و با آن یک شکل بسازیم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پیچیده تری مانند شکل های قبلی بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم. اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی برای ایجاد آن ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشی خاص دارند. مثلاً مثلث سیرپنسکی که قبلاً مشاهده کردید و یا :

ابعاد کسری fractional dimension

همان طور که می‌دانید، یک نقطه بعد ندارد.

یک خط، شکلی یک بعدی است

یک صفحه، دو بعد دارد.

و شکل های حجیم، سه بعد دارند.

اما فراکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند! مثلاً یا . چه طور چنین چیزی امکان دارد؟

اگر یک پاره خط را نصف مثلث فراكتالي کنیم، چه پیش می‌آید؟

حال دو خط داریم که همانند هم هستند.

اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم، چه طور؟ حال چهار مربع هم اندازه داریم.

با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچک تر می‌رسیم.

به جدول زیر دقت کنید:

شکل بعد تعداد اشکال متشابه حاصله
پاره خط 1 2 1 =2
مربع 2 2 2 =4
مکعب 3 2 3 =8

چه الگویی وجود دارد؟ به نظر می‌رسد که بعد، همان " توان " است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصل باید 2 را به توان بعد آن شکل برسانیم.

پس می‌توانیم مورد زیر را نیز به این جدول اضافه کنیم:

هر شکل خود متشابه d 2 d =n

این بار به سراغ مثلث خودمان می رویم.

برای دیدن محیط تعاملی، نرم افزار جاوا را از اینجا دریافت کنید.

اگر هر ضلع را نصف کنیم، چند مثلث تشکیل می‌شود؟ به خاطر داشته باشید که مثلث های سفید جزء مثلث سیرپینسکی نیستند. با نصف کردن هر ضلع، به سه مثلث می‌رسیم، یعنی: 3=2 d

3 عددی است بین 2 1 و2 2 . کسانی که با لگاریتم آشنایی داشته باشند، به راحتی این مسأله را حل می‌کنند. برای مطالعه ی بیش تر می‌توانید به سایت های زیر مراجعه کنید:

مقالات مرتبط

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

برو به دکمه بالا